부분 적분(Integration by Parts)

Integration by Parts

 

부분 적분법은 미적분학에서 두 함수의 곱의 적분을 계산할 때 사용되는 기법입니다. 기본적으로 곱의 미분법칙인 곱의 법칙을 적분에 적용한 것입니다. 부분 적분법의 공식은 다음과 같습니다:

 

$ \int u , dv = uv - \int v , du $

 

여기서 $ u $ 와 $ dv $ 는 적분하고자 하는 표현식에서 선택된 두 부분으로, $ u $ 는 미분하여 $ du $ 가 되고, $ dv $ 는 적분하여 $ v $ 가 됩니다.

이 공식을 사용함으로써 원래의 적분 문제를 더 쉽게 풀 수 있는 적분 문제로 변환할 수 있습니다.

 

예를 들어, $ \int x \cos(x) , dx $ 라는 적분을 계산하려 할 때, $ u = x $ 라고 하고 $ dv = \cos(x) , dx $ 라고 선택할 수 있습니다. 그러면 $ du = dx $ 이고, $ v = \sin(x) $ 입니다. 그래서 부분 적분법을 적용하면 다음과 같이 됩니다:

 

$  \int x \cos(x) , dx = x \sin(x) - \int \sin(x) , dx $
$  = x \sin(x) + \cos(x) + C $

 

여기서 $ C $ 는 적분 상수입니다. 이처럼 부분 적분법은 복잡한 함수의 적분을 계산하는 데 매우 유용합니다.

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$  \int x e^{x} , dx $

 

풀이:

1. 부분 적분 선택: 부분 적분법을 사용하기 위해 $ u $ 와 $ dv $ 를 적절히 선택해야 합니다.
   • $  u = x $ 로 두면 $ du = dx $
   • $  dv = e^{x} dx $ 로 두면 $ v = e^{x} $
2. 부분 적분 공식 적용:
   $  \int u , dv = uv - \int v , du $
   $  \int x e^{x} , dx = x e^{x} - \int e^{x} , dx $
3. 남은 적분 계산:
   • $  \int e^{x} , dx = e^{x} $ (기본적인 지수함수의 적분)
4. 부분 적분 결과 대입 및 정리:
   $  \int x e^{x} , dx = x e^{x} - e^{x} + C $
   • 여기서 $ C $ 는 적분 상수입니다.

이처럼, 부분 적분법을 사용하여 적분 문제를 단계별로 해결할 수 있습니다.

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$  \int \ln(x) , dx $

 

풀이:

1. 부분 적분 선택: 부분 적분법을 사용하기 위해 ( u )와 ( dv )를 적절히 선택해야 합니다.
   • $  u = \ln(x) $ 로 두면 $ du = \frac{1}{x} dx $
   • $  dv = dx $ 로 두면 $ v = x $
2. 부분 적분 공식 적용:
   $  \int u , dv = uv - \int v , du $
   $  \int \ln(x) , dx = \ln(x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} , dx $
3. 남은 적분 계산:
   • $  \int x \cdot \frac{1}{x} , dx = \int 1 , dx = x $ (변수들이 서로 약분되어 단순화됩니다)
4. 부분 적분 결과 대입 및 정리:
   $  \int \ln(x) , dx = x \ln(x) - x + C $
   • 여기서 $ C $ 는 적분 상수입니다.

이렇게, 로그 함수와 같은 덜 직관적인 함수의 적분도 부분 적분법을 통해 계산할 수 있습니다.

 

이번에는 삼각함수를 포함한 부분 적분법 예제를 풀어 보겠습니다:

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$  \int x \sin(x) , dx $

 

풀이:

1. 부분 적분 선택: 부분 적분법을 사용하기 위해 $ u $ 와 $ dv $ 를 적절히 선택합니다.
   • $  u = x $ 로 두면 $ du = dx $
   • $  dv = \sin(x) dx $ 로 두면 $ v = -\cos(x) $ (삼각함수의 기본 적분을 사용)
2. 부분 적분 공식 적용:
   $  \int u , dv = uv - \int v , du $
   $  \int x \sin(x) , dx = x (-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) , dx $
   $  = -x \cos(x) + \int \cos(x) , dx $
   
   
3. 남은 적분 계산:
   • $  \int \cos(x) , dx = \sin(x) $ (기본적인 삼각함수의 적분)
4. 부분 적분 결과 대입 및 정리:
   $  \int x \sin(x) , dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C $
   • 여기서 $ C $ 는 적분 상수입니다.

이 문제에서 부분 적분법을 활용하여 $ x \sin(x) $ 의 적분을 계산할 수 있었습니다. 부분 적분법은 특히 삼각함수와 다항식의 조합을 포함하는 적분에서 유용합니다.

 

지수 함수를 포함한 적분 문제에 대한 부분 적분법 예제를 살펴보겠습니다. 아래 문제는 다항식과 지수함수의 곱을 적분하는 경우를 다룹니다:

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$  \int x^2 e^x , dx $

 

풀이:

1. 부분 적분 선택: 부분 적분법을 사용하기 위해 $ u $ 와 $ dv $ 를 적절히 선택합니다.
   • $  u = x^2 $ 로 두면 $ du = 2x , dx $
   • $  dv = e^x , dx $ 로 두면 $ v = e^x $ (지수함수의 기본 적분을 사용)
2. 부분 적분 공식 적용:
   $  \int u , dv = uv - \int v , du $
   $  \int x^2 e^x , dx = x^2 e^x - \int e^x \cdot 2x , dx $
   
   
3. 남은 적분 계산:
   • 남은 적분 $ \int 2x e^x , dx $ 역시 부분 적분이 필요합니다.
     • 여기서 $ u = 2x $ , $ du = 2 , dx $
     • $  dv = e^x , dx $ 로 두면 $ v = e^x $
   • 다시 부분 적분을 적용합니다:
     $  \int 2x e^x , dx = 2x e^x - \int 2 e^x , dx $
     $  = 2x e^x - 2e^x $
4. 최종 부분 적분 결과 대입 및 정리:
   $  \int x^2 e^x , dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C $
   $  = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C $

위의 계산에서는 부분 적분을 두 번 사용했습니다. 처음에는 $ x^2 $ 과 $ e^x $ 의 곱을 적분하고, 이어서 $ 2x $ 과 $ e^x $ 의 곱을 적분했습니다. 이렇게 단계적으로 복잡한 적분을 계산하는 것이 부분 적분법의 힘입니다.

 

지수함수와 삼각함수를 결합한 적분 문제에 대해 부분 적분법을 적용하는 예를 들어 보겠습니다:

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$  \int e^x \cos(x) , dx $

 

이 문제를 해결하기 위해서는 부분 적분법을 두 번 적용해야 하는데, 이유는 함수 $ e^x \cos(x) $ 가 적분 후에 원래 함수로 되돌아오기 때문입니다.

 

풀이:

1. 첫 번째 부분 적분:
   • $  u = \cos(x) $ , $ dv = e^x , dx $ 로 설정합니다.
   • 따라서, $ du = -\sin(x) , dx $ , $ v = e^x $
   • 부분 적분 공식을 적용하면:
     $  \int e^x \cos(x) , dx = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) , dx $
2. 두 번째 부분 적분:
   • 이제 남은 적분인 $ \int e^x \sin(x) , dx $ 를 계산합니다.
   • $  u = \sin(x) $ , $ dv = e^x , dx $ 로 설정합니다.
   • $  du = \cos(x) , dx $ , $ v = e^x $
   • 다시 부분 적분 공식을 적용하면:
     $  \int e^x \sin(x) , dx = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) , dx $
3. 방정식 풀이:
   • 두 번째 적분 결과를 첫 번째 결과에 대입합니다:
     $  \int e^x \cos(x) , dx = e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) , dx $
   • 이제 양변에 $ \int e^x \cos(x) , dx $ 를 더하여 정리합니다:
     $  2 \int e^x \cos(x) , dx = e^x (\cos(x) + \sin(x)) $
     $  \int e^x \cos(x) , dx = \frac{1}{2} e^x (\cos(x) + \sin(x)) + C $
   • 여기서 $ C $ 는 적분 상수입니다.

이와 같이, 지수함수와 삼각함수를 포함하는 복잡한 적분 문제는 부분 적분을 반복하여 해결할 수 있습니다. 이 예제에서는 부분 적분을 두 번 적용하였고, 결과적으로 원래의 적분 표현식으로 돌아와 적분을 계산할 수 있었습니다.