치환적분(substitution integration) 풀이

Here is the illustrated image depicting the process of substitution integration in calculus. It shows a mathematician at work on a chalkboard, transforming a complex integral equation into a simpler one using substitution.

 

유리함수 적분 문제에서 치환적분을 적용하는 좋은 예시는 다음 적분입니다:
$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} , dx $
이 문제에서는 유리함수를 포함하고 있으며, 적절한 치환을 통해 쉽게 풀 수 있습니다.

 

1. 치환 설정

이 적분에서는 $ u = x^2 + 4 $ 로 치환하는 것이 유용합니다. 이 치환은 분모의 루트를 직접적으로 다루기 위해 선택되었습니다.

 

2. 미분 치환

미분 치환을 수행하면,
$  du = 2x , dx $
이므로,
$  dx = \frac{du}{2x} $

 

3. 적분식 변환

원래의 적분식을 치환한 변수 $ u $ 에 대한 적분으로 변환합니다:
$  \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} , dx = \int \frac{x}{\sqrt{u}} \frac{du}{2x} $
여기서 $ x $ 가 약분되어,
$  \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} , du $

 

4. 적분 계산

이제 적분을 계산할 수 있습니다. $ u^{-1/2} $ 의 적분은
$  \frac{1}{2} \int u^{-1/2} , du = \frac{1}{2} \times 2u^{1/2} + C = u^{1/2} + C $

 

5. 원래 변수로 복귀

마지막으로, $ u = x^2 + 4 $ 이므로,
$  u^{1/2} + C = \sqrt{x^2 + 4} + C $

따라서, 주어진 적분의 해는 다음과 같습니다:
$  \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} , dx = \sqrt{x^2 + 4} + C $

이 예제는 유리함수와 루트 함수를 포함한 적분을 치환을 통해 쉽게 계산할 수 있게 해주는 좋은 사례를 보여줍니다. 치환은 종종 적분을 단순화하고 계산 가능한 형태로 변환하는 데 중요한 역할을 합니다.

 

 

로그함수를 포함하는 치환적분 문제로 아래와 같은 예를 살펴볼 수 있습니다:
$  \int \frac{1}{x \ln(x)} , dx $
이 적분은 로그 함수의 특성을 이용하여 치환적분을 적용하기에 적합한 예입니다.

 

1. 치환 설정

이 문제에서는 $ u = \ln(x) $ 로 치환하는 것이 자연스럽습니다. 이는 분모의 로그 함수를 간단히 처리할 수 있게 도와줍니다.

 

2. 미분 치환

미분 치환을 수행하면,
$  du = \frac{dx}{x} $
이므로,
$  dx = x , du $

 

3. 적분식 변환

원래의 적분식을 치환한 변수 $ u $ 에 대한 적분으로 변환합니다:
$  \int \frac{1}{x \ln(x)} , dx = \int \frac{1}{x u} x , du = \int \frac{1}{u} , du $

 

4. 적분 계산

위의 적분은 로그 함수의 기본적인 적분 공식에 따라 계산됩니다:
$  \int \frac{1}{u} , du = \ln(|u|) + C $

 

5. 원래 변수로 복귀

마지막으로, 치환했던 $ u = \ln(x) $ 를 사용하여 결과를 원래 변수 $ x $ 로 되돌립니다:
$  \ln(|\ln(x)|) + C $

따라서, 주어진 적분의 해는 다음과 같습니다:
$  \int \frac{1}{x \ln(x)} , dx = \ln(|\ln(x)|) + C $

이 예제는 로그 함수를 포함하는 적분 문제에서 치환적분을 어떻게 적용할 수 있는지 보여줍니다. 로그 함수의 치환은 종종 적분을 계산하는 데 필수적인 단순화를 제공합니다.