정적분의 치환적분

 

정적분 문제를 치환적분을 사용하여 푸는 과정을 다음 예제를 통해 보여드리겠습니다. 정적분의 경우, 변수를 치환할 때 적분의 경계도 함께 변환해야 합니다.

문제

다음 정적분을 계산하세요:
$ \int_0^1 (6x^2)(2x^3 + 5)^6 , dx $

1. 치환 설정

변수 $ u $ 를 $ u = 2x^3 + 5 $ 로 치환하겠습니다.

2. 미분 치환 및 $ dx $ 변환

$  \frac{du}{dx} = 6x^2 $
$  du = 6x^2 dx $
$  dx = \frac{du}{6x^2} $

3. 적분 경계 변환

$  x $ 의 적분 경계가 0에서 1로 주어졌으므로, $ u $ 의 적분 경계도 변환해야 합니다.

• $  x = 0 $ 일 때, $ u = 2(0)^3 + 5 = 5 $
• $  x = 1 $ 일 때, $ u = 2(1)^3 + 5 = 7 $

4. 적분식 변환

$  \int_0^1 (6x^2)(2x^3 + 5)^6 , dx = \int_5^7 u^6 , \frac{du}{6x^2} $
여기서 $ 6x^2 $ 는 $ du $ 의 일부이므로, $ dx $ 를 $ \frac{du}{6x^2} $ 로 치환했을 때 $ 6x^2 $ 는 서로 상쇄됩니다.
$  \int_5^7 u^6 du $

5. 적분 계산

$  \int u^6 du = \frac{u^7}{7} $
계산을 경계값에 적용합니다:
$  \left[\frac{u^7}{7}\right]_5^7 = \frac{7^7}{7} - \frac{5^7}{7} $

6. 최종 답안 계산

$  \frac{7^7}{7} - \frac{5^7}{7} $

이제 이 값을 계산하여 최종 답을 구할 수 있습니다. 계산을 위해 파이썬 코드를 실행해 보겠습니다.

따라서 주어진 정적분
$  \int_0^1 (6x^2)(2x^3 + 5)^6 dx $
의 계산 결과는 대략 ( 106488.29 )입니다. 이는 치환적분을 사용하여 적분 경계까지 변환한 후의 결과입니다.

 

문제

이 정적분 문제는 치환적분을 사용하여 풀 수 있습니다. 주어진 적분식은 다음과 같습니다:
$  \int_1^2 15x^2 (x^3 - 7)^4 dx $  

1. 치환 설정

변수 $ u $ 를 $ u = x^3 - 7 $ 로 치환하겠습니다.

2. 미분 치환 및 $ dx $ 변환

$  \frac{du}{dx} = 3x^2 $
$  du = 3x^2 dx $
$  dx = \frac{du}{3x^2} $

3. 적분 경계 변환

$  x $ 의 적분 경계가 1에서 2로 주어졌으므로, $ u $ 의 적분 경계도 변환해야 합니다.

• $  x = 1 $ 일 때, $ u = 1^3 - 7 = -6 $
• $  x = 2 $ 일 때, $ u = 2^3 - 7 = 1 $

4. 적분식 변환

$  \int_1^2 15x^2 (x^3 - 7)^4 dx = \int_{-6}^1 15 (u)^4 \frac{du}{3} $
여기서 $ 15 $ 와 $ 3 $ 를 약분하여,
$  \int_{-6}^1 5 u^4 du $

5. 적분 계산

$  \int u^4 du = \frac{u^5}{5} $
경계값에 적용하여,
$  \left[\frac{5u^5}{5}\right]{-6}^1 = \left[u^5\right]{-6}^1 $
$  = 1^5 - (-6)^5 $

6. 최종 값 계산

$  = 1 + 7776 = 7777 $

따라서 주어진 정적분의 해는 $ 7777 $ 입니다. 이제 이 계산을 파이썬을 사용하여 검증해 보겠습니다.

계산 결과, 주어진 정적분
$  \int_1^2 15x^2 (x^3 - 7)^4 dx $
의 값은 $ 7777 $ 입니다. 이는 위에서 수행한 치환적분을 통한 계산과 일치합니다.