삼각치환 적분(Trigonometric Substitution)

Here's a simple illustration that shows the trigonometric functions and the Pythagorean theorem

 

삼각치환 적분법은 적분을 계산할 때 특정 형태의 함수를 쉽게 적분할 수 있도록 하는 기법 중 하나입니다. 이 방법은 주로 $ \sqrt{a^2 - x^2} $ , $ \sqrt{a^2 + x^2} $ , $ \sqrt{x^2 - a^2} $  같은 표현이 포함된 함수에서 유용합니다. 삼각치환은 이러한 표현들을 삼각함수의 정체성을 이용하여 간단한 형태로 변환함으로써 적분을 용이하게 합니다.

삼각치환의 세 가지 기본 형태는 다음과 같습니다:

1. $  \sqrt{a^2 - x^2} $  형태의 적분:
   • 치환: $ x = a \sin \theta $
   • $  dx = a \cos \theta d\theta $
   • 적분식 변환:  $  \sqrt{a^2 - x^2} $ 는 $ \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} = a \cos \theta $ 로 변환됩니다.
2. $  \sqrt{a^2 + x^2} $  형태의 적분:
   • 치환: $ x = a \tan \theta $ 
   • $ dx = a \sec^2 \theta d\theta $
   • 적분식 변환: $ \sqrt{a^2 + x^2} $  는 $ \sqrt{a^2 + a^2 \tan^2 \theta} = a \sec \theta $  로 변환됩니다.
3. $  \sqrt{x^2 - a^2} $ 형태의 적분:
   • 치환: $ x = a \sec \theta $
   • $  dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta $
   • 적분식 변환: $ \sqrt{x^2 - a^2} $  는 $ \sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2} = a \tan \theta $ 로 변환됩니다.

이러한 치환 후에는 적분 변수가 $ \theta $ 로 바뀌고, 적분을 수행한 후 다시 원래 변수로 되돌려야 합니다. 적분 결과를 얻은 뒤에는 역치환을 통해 최종적인 적분 값을 계산합니다. 이 방법은 복잡한 무리함수 적분을 훨씬 간단한 삼각함수 적분으로 변환하여 문제를 해결할 수 있게 해줍니다.

 

삼각치환을 연습하기에 좋은 몇 가지 문제

1. 문제 1: $ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} $
   • 치환 추천: $ x = 3 \sin \theta $
2. 문제 2: $ \int \sqrt{4x^2 + 1}  dx $
   • 치환 추천: $ x = \frac{1}{2} \tan \theta $
3. 문제 3: $ \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 4}}  dx $
   • 치환 추천: $ x = 2 \sec \theta $
4. 문제 4: $ \int \sqrt{1 - x^2}  dx $
   • 치환 추천: $ x = \sin \theta $
5. 문제 5: $ \int \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}  dx $
   • 치환 추천: $ x = \sec \theta $

각 문제에 대한 삼각치환 방식을 사용해 보시고, 적분을 계산해 보세요. 이 과정은 변수 변환 후 적분을 용이하게 하고, 역치환을 통해 최종 결과를 얻는 연습이 될 것입니다.

---

문제 1: $ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} $

치환:
$  x = 3 \sin \theta $

 

dx 계산:
$  dx = 3 \cos \theta , d\theta $

 

치환 적용:
$
\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2 \theta} = 3\cos \theta
$
$
\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} = \int \frac{3 \cos \theta , d\theta}{3 \cos \theta} = \int d\theta = \theta + C
$

 

역치환:
$  x = 3 \sin \theta $  에서 $ \theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) $ 이므로,
$
\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C
$

문제 2: $ \int \sqrt{4x^2 + 1} , dx $

치환:
$  x = \frac{1}{2} \tan \theta $

 

dx 계산:
$  dx = \frac{1}{2} \sec^2 \theta , d\theta $

 

치환 적용:
$
\sqrt{4x^2 + 1} = \sqrt{4 \left(\frac{1}{2} \tan \theta\right)^2 + 1} = \sqrt{\tan^2 \theta + 1} = \sec \theta
$
$
\int \sqrt{4x^2 + 1} , dx = \int \sec \theta \cdot \frac{1}{2} \sec^2 \theta , d\theta = \frac{1}{2} \int \sec^3 \theta , d\theta
$

 

적분 결과:
$
\frac{1}{2} \left[ \sec \theta \tan \theta + \log \left| \sec \theta + \tan \theta \right| \right] + C
$

 

역치환:
$  x = \frac{1}{2} \tan \theta $ 에서 $ \theta = \arctan(2x) $ ,
$
\sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{1 + (2x)^2}
$
$
\tan \theta = 2x
$

 

따라서 최종 결과는
$
\frac{1}{2} \left[ \sqrt{1 + 4x^2} \cdot 2x + \log \left| \sqrt{1 + 4x^2} + 2x \right| \right] + C
$

문제 3: $ \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 4}} , dx $

치환:
$  x = 2 \sec \theta $

 

dx 계산:
$  dx = 2 \sec \theta \tan \theta , d\theta $

 

치환 적용:
$
\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{4 \sec^2 \theta - 4} = 2 \tan \theta
$
$
x^2 = 4 \sec^2 \theta
$
$
\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 4}} , dx = \int \frac{4 \sec^2 \theta \cdot 2 \sec \theta \tan \theta , d\theta}{2 \tan \theta} = \int 4 \sec^3 \theta , d\theta
$

 

적분 결과:
$
4 \left[\frac{1}{2} \left(\sec \theta \tan \theta + \ln |\sec \theta + \tan \theta|\right)\right] + C = 2 \left(\sec \theta \tan \theta + \ln |\sec \theta + \tan \theta|\right) + C
$

 

역치환:
$  x = 2 \sec \theta $ 에서 $ \theta = arcsec\left(\frac{x}{2}\right) $ ,
$
\sec \theta = \frac{x}{2}, \tan \theta = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 - 1}
] $

 

따라서 최종 결과는
$
2 \left(\frac{x}{2} \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 - 1} + \ln \left|\frac{x}{2} + \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 - 1}\right|\right) + C
$

문제 4: $ \int \sqrt{1 - x^2} , dx $

치환:
$  x = \sin \theta $

 

dx 계산:
$  dx = \cos \theta , d\theta $

 

치환 적용:
$
\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta
$
$
\int \sqrt{1 - x^2} , dx = \int \cos^2 \theta , d\theta
$

 

적분 결과:
$
\frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C
$

 

역치환:
$  x = \sin \theta $ 에서 $ \theta = arcsin x $ ,
$
\int \sqrt{1 - x^2} , dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{4} \sin 2(\arcsin x) + C
$

문제 5: $ \int \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} , dx $

치환:
$  x = \sec \theta $

 

dx 계산:
$  dx = \sec \theta \tan \theta , d\theta $

 

치환 적용:
$
\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \tan \theta
$
$
\int \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} , dx = \int \frac{\tan \theta \cdot \sec \theta \tan \theta , d\theta}{\sec \theta} = \int \tan^2 \theta , d\theta
$

 

적분 결과:
$
\int \tan^2 \theta , d\theta = \theta - \tan \theta + C
$

 

역치환:
$  x = \sec \theta $ 에서 $ \theta = arcsec x $ ,
$
\int \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} , dx = arcsec x - \sqrt{x^2 - 1} + C
$