치환적분(substitution integration) 풀이

Here is the illustrated image depicting the process of substitution integration in calculus. It shows a mathematician at work on a chalkboard, transforming a complex integral equation into a simpler one using substitution.

 

이번에는 다소 다른 형태의 치환적분 문제를 살펴보겠습니다. 다음과 같은 적분을 해결해 보겠습니다:
$ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} , dx $
이 문제는 삼각함수의 치환을 사용하기 좋은 예입니다.

 

1. 치환 설정

이 적분 문제에서는 $ x = \sin(u) $ 라는 치환을 사용합니다. 이 치환은 $ \sqrt{1-x^2} $ 를 단순화하는 데 유용하며, 적분을 쉽게 계산할 수 있도록 합니다.

 

2. 미분 치환

$  x = \sin(u) $ 라고 치환했을 때, $ dx $ 는 다음과 같이 미분됩니다:
$  dx = \cos(u) , du $

 

3. 적분식 변환

원래의 적분식은 이제 $ u $ 에 대한 적분으로 변환됩니다:
$  \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(u)}} \cos(u) , du $
여기서 $ \sqrt{1 - \sin^2(u)} )는 ( \cos(u) $ 입니다. 따라서 적분은 다음과 같이 단순화됩니다:
$  \int \frac{\cos(u)}{\cos(u)} , du = \int 1 , du $

 

4. 적분 계산

위의 적분은 매우 간단합니다:
$  \int 1 , du = u + C $

 

5. 원래 변수로 복귀

마지막으로, $ x = \sin(u) $ 이므로 $ u = \arcsin(x) $ 입니다. 그러므로 적분 결과를 원래 변수로 돌려놓으면:
$  u + C = \arcsin(x) + C $

따라서, 주어진 적분의 해는 다음과 같습니다:
$  \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} , dx = \arcsin(x) + C $

이 예제는 삼각 치환을 사용하여 복잡할 수 있는 적분 문제를 간단하고 직관적으로 해결하는 방법을 보여줍니다. 이 방법은 적분의 피적분함수가 $ \sqrt{1-x^2} $ 와 같은 형태를 포함할 때 특히 유용합니다.

 

유명한 치환적분 중 하나는 다음과 같은 적분 문제를 들 수 있습니다:
$  \int \frac{dx}{1 + x^2} $
이 적분은 자연로그 함수나 기타 복잡한 함수를 사용하지 않고 삼각함수 치환을 통해 풀 수 있으며, 결과적으로 아크탄젠트 함수 $ (\arctan) $ 가 나옵니다.

 

1. 치환 설정

이 문제에서는 $ x = \tan(u) $ 라는 치환을 사용할 것입니다. 이 치환은 $ 1 + x^2 $ 를 삼각함수의 정체성으로 변환하는 데 유용합니다.

 

2. 미분 치환

$  x = \tan(u) $ 라고 치환했을 때, $ dx $ 는 다음과 같이 미분됩니다:
$  dx = \sec^2(u) , du $

 

3. 적분식 변환

원래의 적분식은 이제 $ u $ 에 대한 적분으로 변환됩니다:
$  \int \frac{\sec^2(u)}{1 + \tan^2(u)} , du $
삼각함수의 정체성에 따라 $ 1 + \tan^2(u) = \sec^2(u) $ 이므로, 적분은 다음과 같이 단순화됩니다:
$  \int \frac{\sec^2(u)}{\sec^2(u)} , du = \int 1 , du $

 

4. 적분 계산

이 적분은 매우 간단합니다:
$  \int 1 , du = u + C $

 

5. 원래 변수로 복귀

마지막으로, $ x = \tan(u) $ 이므로 $ u = \arctan(x) $ 입니다. 그러므로 적분 결과를 원래 변수로 돌려놓으면:
$  u + C = \arctan(x) + C $

따라서, 주어진 적분의 해는 다음과 같습니다:
$  \int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan(x) + C $

이 예제는 삼각함수 치환을 사용하여 일반적인 적분 문제를 해결하는 고전적인 방법을 보여줍니다. 이는 기초적인 적분 공식에 대한 좋은 이해를 제공하며, 특히 삼각 치환을 이해하는 데 도움이 됩니다.