치환적분(substitution integration)

Here is the illustrated image depicting the process of substitution integration in calculus. It shows a mathematician at work on a chalkboard, transforming a complex integral equation into a simpler one using substitution.

 

치환적분은 특히 적분 변수를 다른 표현으로 바꾸어 원래의 적분을 더 쉽게 계산할 수 있도록 하는 방법입니다. 치환적분을 사용하는 주된 이유는 복잡한 함수의 적분을 간단한 함수의 적분으로 변환하여 쉽게 해결하기 위함입니다.

 

치환적분의 기본 단계

치환적분을 수행하기 위한 기본 단계는 다음과 같습니다:

1. 치환: 적절한 치환 $ u = g(x) $ 을 선택합니다. 이 선택은 주로 내부 함수 $ g(x) $ 가 외부 함수의 인수로 사용되는 합성 함수 형태의 적분에서 유래합니다.
2. 미분 치환: $ dx $ 를 $ du $ 로 치환하기 위해 $ u = g(x) $ 의 양변을 미분하여 $ du $ 와 $ dx $ 의 관계를 구합니다. 즉, $ du = g'(x)dx $ 입니다.
3. 적분 범위 변환: 정적분의 경우, 적분 범위도 $ x $ 에서 $ u $ 로 변환해야 합니다. 이는 $ u = g(x) $ 를 사용하여 $ x $ 의 각 적분 범위를 $ u $ 의 범위로 변환함으로써 이루어집니다.
4. 적분 실행: 적분을 $ u $ 의 함수로 재구성하고, $ \int f(u) , du $ 의 형태로 적분을 수행합니다.
5. 원래 변수로의 복귀: 필요한 경우, 최종적인 결과를 원래 변수 $ x $ 의 형태로 다시 변환합니다.

예제

예를 들어, 다음 적분을 고려해 보겠습니다:
$  \int x \sin(x^2) , dx $

여기서 $ u = x^2 $ 이라고 치환하면, $ du = 2x , dx $ 가 됩니다. 따라서, $ dx $ 는 $ \frac{du}{2x} $ 로 치환될 수 있습니다. 적분식은 다음과 같이 단순화됩니다:
$  \int x \sin(u) \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \sin(u) , du $

이제 적분을 계산하고 결과를 다시 $ x $ 의 형태로 변환할 수 있습니다.

치환적분은 이렇게 복잡한 적분을 간단하게 만들어 주는 강력한 도구입니다. 이 방법을 사용하면 다양한 수학적 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다.

가장 기본적인 치환적분 문제 중 하나는 다음과 같은 적분 문제를 풀어보는 것입니다:
$  \int \sin(x^2) \cdot 2x , dx $

이 문제를 치환적분을 이용하여 풀어보겠습니다.

 

1. 치환 설정

우선, $ u = x^2 $ 로 치환을 설정합니다. 이 치환을 선택한 이유는 $ 2x , dx $ 와 함께 $ \sin $ 함수의 인자가 되기 때문입니다.

 

2. 미분 치환

치환한 변수 $ u $ 에 대해 미분하면 다음과 같습니다:
$  du = 2x , dx $

따라서, $ 2x , dx $ 는 $ du $ 와 같습니다.

 

3. 적분식 변환

원래의 적분식은 이제 $ u $ 에 대한 적분으로 변환됩니다:
$  \int \sin(x^2) \cdot 2x , dx = \int \sin(u) , du $

 

4. 적분 계산

적분 $ \int \sin(u) , du $ 는 기본적인 적분 공식에 의해 다음과 같이 계산됩니다:
$  \int \sin(u) , du = -\cos(u) + C $

 

5. 원래 변수로 복귀

마지막으로, 치환했던 $ u = x^2 $ 를 다시 사용하여 $ u $ 를 $ x $ 의 표현으로 대체합니다:
$  -\cos(u) + C = -\cos(x^2) + C $

따라서, 주어진 적분의 해는 다음과 같습니다:
$  \int \sin(x^2) \cdot 2x , dx = -\cos(x^2) + C $

이 예제는 치환적분을 사용하여 적분을 계산하는 전형적인 방법을 보여줍니다.