편미분과 전미분

편미분과 전미분은 두 개 이상의 변수를 가진 함수에서 주로 사용되는 미적분학의 개념입니다. 각각은 서로 다른 관점에서 함수의 변화를 측정합니다.

 

편미분(Partial Derivative):

 

편미분은 다변수 함수에서 한 변수에 대한 함수의 미분을 나타냅니다. 이 때, 다른 변수들은 상수로 간주됩니다.

예를 들어, 함수 f(x, y)가 있을 때, x에 대한 편미분은 다음과 같이 정의됩니다:

 

∂f/∂x = limit(h->0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / h

 

이 식에서, h는 x의 미소 변화를 나타냅니다. 여기서 특이한 점은, 이 편미분을 계산할 때 y는 상수로 취급된다는 것입니다.

편미분은 각 변수가 함수에 얼마나 영향을 미치는지를 측정합니다. 이 개념은 물리학, 공학, 경제학 등에서 널리 사용되며, 그래디언트, 컬, 발산 등의 벡터 해석 개념을 정의하는 데에도 중요합니다.

 

전미분(Total Derivative):

 

전미분은 모든 독립 변수가 동시에 변화할 때 함수의 변화를 측정합니다. 편미분과 달리, 전미분은 모든 변수가 동시에 변화할 수 있음을 가정합니다.

예를 들어, 함수 f(x, y)가 있을 때, 전미분 df는 다음과 같이 정의됩니다:

 

df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy

 

여기서, dx와 dy는 x와 y의 미소 변화를 나타내며, ∂f/∂x와 ∂f/∂y는 각각 x와 y에 대한 편미분을 나타냅니다.

전미분은 변수들 간의 상호 관계를 고려하여 함수의 변화를 측정합니다. 이것은 특히 연쇄 법칙(chain rule)을 포함하는 미적분학의 여러 분야에서 중요한 도구로 사용됩니다. 예를 들어, 복잡한 시스템의 동적인 행동을 설명하거나, 여러 변수들이 복잡하게 상호 작용하는 경제 모델을 분석하는 데 사용됩니다.