부분 적분(Integration by Parts)

Integration by Parts

 

부분 적분법은 미적분학에서 두 함수의 곱의 적분을 계산할 때 사용되는 기법입니다. 기본적으로 곱의 미분법칙인 곱의 법칙을 적분에 적용한 것입니다. 부분 적분법의 공식은 다음과 같습니다:

 

$\int u,dv=uv-\int v,du$

 

여기서 $u$ 와 $dv$ 는 적분하고자 하는 표현식에서 선택된 두 부분으로, $u$ 는 미분하여 $du$ 가 되고, $dv$ 는 적분하여 $v$ 가 됩니다.

이 공식을 사용함으로써 원래의 적분 문제를 더 쉽게 풀 수 있는 적분 문제로 변환할 수 있습니다.

 

예를 들어, $\int x\cos (x),dx$ 라는 적분을 계산하려 할 때, $u=x$ 라고 하고 $dv=\cos (x),dx$ 라고 선택할 수 있습니다. 그러면 $du=dx$ 이고, $v=\sin (x)$ 입니다. 그래서 부분 적분법을 적용하면 다음과 같이 됩니다:

 

$\int x\cos (x),dx=x\sin (x)-\int \sin (x),dx$
$=x\sin (x)+\cos (x)+C$

 

여기서 $C$ 는 적분 상수입니다. 이처럼 부분 적분법은 복잡한 함수의 적분을 계산하는 데 매우 유용합니다.

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$\int x{e}^x,dx$

 

풀이:

1. 부분 적분 선택: 부분 적분법을 사용하기 위해 $u$ 와 $dv$ 를 적절히 선택해야 합니다.
   • $u=x$ 로 두면 $du=dx$
   • $dv=e^{x}dx$ 로 두면 $v=e^x$
2. 부분 적분 공식 적용:
   $\int u,dv=uv-\int v,du$
   $\int x{e}^x,dx=x{e}^x-\int e^x,dx$
3. 남은 적분 계산:
   • $\int e^x,dx=e^x$ (기본적인 지수함수의 적분)
4. 부분 적분 결과 대입 및 정리:
   $\int x{e}^x,dx=x{e}^x-e^x+C$
   • 여기서 $C$ 는 적분 상수입니다.

이처럼, 부분 적분법을 사용하여 적분 문제를 단계별로 해결할 수 있습니다.

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$\int \ln (x),dx$

 

풀이:

1. 부분 적분 선택: 부분 적분법을 사용하기 위해 ( u )와 ( dv )를 적절히 선택해야 합니다.
   • $u=\ln (x)$ 로 두면 $du=\frac{1}{x}dx$
   • $dv=dx$ 로 두면 $v=x$
2. 부분 적분 공식 적용:
   $\int u,dv=uv-\int v,du$
   $\int \ln (x),dx=\ln (x)\cdot x-\int x\cdot \frac{1}{x},dx$
3. 남은 적분 계산:
   • $\int x\cdot \frac{1}{x},dx=\int 1,dx=x$ (변수들이 서로 약분되어 단순화됩니다)
4. 부분 적분 결과 대입 및 정리:
   $\int \ln (x),dx=x\ln (x)-x+C$
   • 여기서 $C$ 는 적분 상수입니다.

이렇게, 로그 함수와 같은 덜 직관적인 함수의 적분도 부분 적분법을 통해 계산할 수 있습니다.

 

이번에는 삼각함수를 포함한 부분 적분법 예제를 풀어 보겠습니다:

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$\int x\sin (x),dx$

 

풀이:

1. 부분 적분 선택: 부분 적분법을 사용하기 위해 $u$ 와 $dv$ 를 적절히 선택합니다.
   • $u=x$ 로 두면 $du=dx$
   • $dv=\sin (x)dx$ 로 두면 $v=-\cos (x)$ (삼각함수의 기본 적분을 사용)
2. 부분 적분 공식 적용:
   $\int u,dv=uv-\int v,du$
   $\int x\sin (x),dx=x(-\cos (x))-\int (-\cos (x)),dx$
   $=-x\cos (x)+\int \cos (x),dx$
   
   
3. 남은 적분 계산:
   • $\int \cos (x),dx=\sin (x)$ (기본적인 삼각함수의 적분)
4. 부분 적분 결과 대입 및 정리:
   $\int x\sin (x),dx=-x\cos (x)+\sin (x)+C$
   • 여기서 $C$ 는 적분 상수입니다.

이 문제에서 부분 적분법을 활용하여 $x\sin (x)$ 의 적분을 계산할 수 있었습니다. 부분 적분법은 특히 삼각함수와 다항식의 조합을 포함하는 적분에서 유용합니다.

 

지수 함수를 포함한 적분 문제에 대한 부분 적분법 예제를 살펴보겠습니다. 아래 문제는 다항식과 지수함수의 곱을 적분하는 경우를 다룹니다:

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$\int x^2{e}^x,dx$

 

풀이:

1. 부분 적분 선택: 부분 적분법을 사용하기 위해 $u$ 와 $dv$ 를 적절히 선택합니다.
   • $u=x^2$ 로 두면 $du=2x,dx$
   • $dv=e^x,dx$ 로 두면 $v=e^x$ (지수함수의 기본 적분을 사용)
2. 부분 적분 공식 적용:
   $\int u,dv=uv-\int v,du$
   $\int x^2{e}^x,dx=x^2{e}^x-\int e^x\cdot 2x,dx$
   
   
3. 남은 적분 계산:
   • 남은 적분 $\int 2x{e}^x,dx$ 역시 부분 적분이 필요합니다.
     • 여기서 $u=2x$ , $du=2,dx$
     • $dv=e^x,dx$ 로 두면 $v=e^x$
   • 다시 부분 적분을 적용합니다:
     $\int 2x{e}^x,dx=2x{e}^x-\int 2e^x,dx$
     $=2x{e}^x-2e^x$
4. 최종 부분 적분 결과 대입 및 정리:
   $\int x^2{e}^x,dx=x^2{e}^x-(2x{e}^x-2e^x)+C$
   $=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x+C$

위의 계산에서는 부분 적분을 두 번 사용했습니다. 처음에는 $x^2$ 과 $e^x$ 의 곱을 적분하고, 이어서 $2x$ 과 $e^x$ 의 곱을 적분했습니다. 이렇게 단계적으로 복잡한 적분을 계산하는 것이 부분 적분법의 힘입니다.

 

지수함수와 삼각함수를 결합한 적분 문제에 대해 부분 적분법을 적용하는 예를 들어 보겠습니다:

 

문제: 다음 적분을 계산하시오.
$\int e^x\cos (x),dx$

 

이 문제를 해결하기 위해서는 부분 적분법을 두 번 적용해야 하는데, 이유는 함수 $e^x\cos (x)$ 가 적분 후에 원래 함수로 되돌아오기 때문입니다.

 

풀이:

1. 첫 번째 부분 적분:
   • $u=\cos (x)$ , $dv=e^x,dx$ 로 설정합니다.
   • 따라서, $du=-\sin (x),dx$ , $v=e^x$
   • 부분 적분 공식을 적용하면:
     $\int e^x\cos (x),dx=e^x\cos (x)+\int e^x\sin (x),dx$
2. 두 번째 부분 적분:
   • 이제 남은 적분인 $\int e^x\sin (x),dx$ 를 계산합니다.
   • $u=\sin (x)$ , $dv=e^x,dx$ 로 설정합니다.
   • $du=\cos (x),dx$ , $v=e^x$
   • 다시 부분 적분 공식을 적용하면:
     $\int e^x\sin (x),dx=e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x),dx$
3. 방정식 풀이:
   • 두 번째 적분 결과를 첫 번째 결과에 대입합니다:
     $\int e^x\cos (x),dx=e^x\cos (x)+e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x),dx$
   • 이제 양변에 $\int e^x\cos (x),dx$ 를 더하여 정리합니다:
     $2\int e^x\cos (x),dx=e^x(\cos (x)+\sin (x))$
     $\int e^x\cos (x),dx=\frac{1}{2}{e}^x(\cos (x)+\sin (x))+C$
   • 여기서 $C$ 는 적분 상수입니다.

이와 같이, 지수함수와 삼각함수를 포함하는 복잡한 적분 문제는 부분 적분을 반복하여 해결할 수 있습니다. 이 예제에서는 부분 적분을 두 번 적용하였고, 결과적으로 원래의 적분 표현식으로 돌아와 적분을 계산할 수 있었습니다.