삼각치환 적분(Trigonometric Substitution)

Here's a simple illustration that shows the trigonometric functions and the Pythagorean theorem

 

삼각치환 적분법은 적분을 계산할 때 특정 형태의 함수를 쉽게 적분할 수 있도록 하는 기법 중 하나입니다. 이 방법은 주로 $\sqrt{a^2-x^2}$ , $\sqrt{a^2+x^2}$ , $\sqrt{x^2-a^2}$  같은 표현이 포함된 함수에서 유용합니다. 삼각치환은 이러한 표현들을 삼각함수의 정체성을 이용하여 간단한 형태로 변환함으로써 적분을 용이하게 합니다.

삼각치환의 세 가지 기본 형태는 다음과 같습니다:

1. $\sqrt{a^2-x^2}$  형태의 적분:
   • 치환: $x=a\sin \theta$
   • $dx=a\cos \theta d\theta$
   • 적분식 변환:  $\sqrt{a^2-x^2}$ 는 $\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }=a\cos \theta$ 로 변환됩니다.
2. $\sqrt{a^2+x^2}$  형태의 적분:
   • 치환: $x=a\tan \theta$ 
   • $dx=a{\sec }^2\theta d\theta$
   • 적분식 변환: $\sqrt{a^2+x^2}$  는 $\sqrt{a^2+a^2{\tan }^2\theta }=a\sec \theta$  로 변환됩니다.
3. $\sqrt{x^2-a^2}$ 형태의 적분:
   • 치환: $x=a\sec \theta$
   • $dx=a\sec \theta \tan \theta d\theta$
   • 적분식 변환: $\sqrt{x^2-a^2}$  는 $\sqrt{a^2{\sec }^2\theta -a^2}=a\tan \theta$ 로 변환됩니다.

이러한 치환 후에는 적분 변수가 $\theta$ 로 바뀌고, 적분을 수행한 후 다시 원래 변수로 되돌려야 합니다. 적분 결과를 얻은 뒤에는 역치환을 통해 최종적인 적분 값을 계산합니다. 이 방법은 복잡한 무리함수 적분을 훨씬 간단한 삼각함수 적분으로 변환하여 문제를 해결할 수 있게 해줍니다.

 

삼각치환을 연습하기에 좋은 몇 가지 문제

1. 문제 1: $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$
   • 치환 추천: $x=3\sin \theta$
2. 문제 2: $\int \sqrt{4x^2+1}dx$
   • 치환 추천: $x=\frac{1}{2}\tan \theta$
3. 문제 3: $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}dx$
   • 치환 추천: $x=2\sec \theta$
4. 문제 4: $\int \sqrt{1-x^2}dx$
   • 치환 추천: $x=\sin \theta$
5. 문제 5: $\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}dx$
   • 치환 추천: $x=\sec \theta$

각 문제에 대한 삼각치환 방식을 사용해 보시고, 적분을 계산해 보세요. 이 과정은 변수 변환 후 적분을 용이하게 하고, 역치환을 통해 최종 결과를 얻는 연습이 될 것입니다.

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문제 1: $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$

치환:
$x=3\sin \theta$

 

dx 계산:
$dx=3\cos \theta ,d\theta$

 

치환 적용:
$\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9{\sin }^2\theta }=3\cos \theta$
$\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\int \frac{3\cos \theta ,d\theta }{3\cos \theta }=\int d\theta =\theta +C$

 

역치환:
$x=3\sin \theta$  에서 $\theta =\arcsin \left(\frac{x}{3}\right)$ 이므로,
$\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\arcsin \left(\frac{x}{3}\right)+C$

문제 2: $\int \sqrt{4x^2+1},dx$

치환:
$x=\frac{1}{2}\tan \theta$

 

dx 계산:
$dx=\frac{1}{2}{\sec }^2\theta ,d\theta$

 

치환 적용:
$\sqrt{4x^2+1}=\sqrt{4{(\frac{1}{2}\tan \theta )}^2+1}=\sqrt{{\tan }^2\theta +1}=\sec \theta$
$\int \sqrt{4x^2+1},dx=\int \sec \theta \cdot \frac{1}{2}{\sec }^2\theta ,d\theta =\frac{1}{2}\int {\sec }^3\theta ,d\theta$

 

적분 결과:
$\frac{1}{2}[\sec \theta \tan \theta +\log |\sec \theta +\tan \theta |]+C$

 

역치환:
$x=\frac{1}{2}\tan \theta$ 에서 $\theta =\arctan (2x)$ ,
$\sec \theta =\sqrt{1+{\tan }^2\theta }=\sqrt{1+(2x{)}^2}$
$\tan \theta =2x$

 

따라서 최종 결과는
$\frac{1}{2}[\sqrt{1+4x^2}\cdot 2x+\log |\sqrt{1+4x^2}+2x|]+C$

문제 3: $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}},dx$

치환:
$x=2\sec \theta$

 

dx 계산:
$dx=2\sec \theta \tan \theta ,d\theta$

 

치환 적용:
$\sqrt{x^2-4}=\sqrt{4{\sec }^2\theta -4}=2\tan \theta$
$x^2=4{\sec }^2\theta$
$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}},dx=\int \frac{4{\sec }^2\theta \cdot 2\sec \theta \tan \theta ,d\theta }{2\tan \theta }=\int 4{\sec }^3\theta ,d\theta$

 

적분 결과:
$4\left[\frac{1}{2}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)\right]+C=2(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C$

 

역치환:
$x=2\sec \theta$ 에서 $\theta =arcsec\left(\frac{x}{2}\right)$ ,
$\sec \theta =\frac{x}{2},\tan \theta =\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2-1}]$

 

따라서 최종 결과는
$2(\frac{x}{2}\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2-1}+\ln |\frac{x}{2}+\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2-1}|)+C$

문제 4: $\int \sqrt{1-x^2},dx$

치환:
$x=\sin \theta$

 

dx 계산:
$dx=\cos \theta ,d\theta$

 

치환 적용:
$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\cos \theta$
$\int \sqrt{1-x^2},dx=\int {\cos }^2\theta ,d\theta$

 

적분 결과:
$\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin 2\theta +C$

 

역치환:
$x=\sin \theta$ 에서 $\theta =arcsinx$ ,
$\int \sqrt{1-x^2},dx=\frac{1}{2}\arcsin x+\frac{1}{4}\sin 2(\arcsin x)+C$

문제 5: $\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},dx$

치환:
$x=\sec \theta$

 

dx 계산:
$dx=\sec \theta \tan \theta ,d\theta$

 

치환 적용:
$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{{\sec }^2\theta -1}=\tan \theta$
$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},dx=\int \frac{\tan \theta \cdot \sec \theta \tan \theta ,d\theta }{\sec \theta }=\int {\tan }^2\theta ,d\theta$

 

적분 결과:
$\int {\tan }^2\theta ,d\theta =\theta -\tan \theta +C$

 

역치환:
$x=\sec \theta$ 에서 $\theta =arcsecx$ ,
$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},dx=arcsecx-\sqrt{x^2-1}+C$