728x90 수학 Library16 치환적분(substitution integration) 치환적분은 특히 적분 변수를 다른 표현으로 바꾸어 원래의 적분을 더 쉽게 계산할 수 있도록 하는 방법입니다. 치환적분을 사용하는 주된 이유는 복잡한 함수의 적분을 간단한 함수의 적분으로 변환하여 쉽게 해결하기 위함입니다. 치환적분의 기본 단계치환적분을 수행하기 위한 기본 단계는 다음과 같습니다:치환: 적절한 치환 $ u = g(x) $ 을 선택합니다. 이 선택은 주로 내부 함수 $ g(x) $ 가 외부 함수의 인수로 사용되는 합성 함수 형태의 적분에서 유래합니다.미분 치환: $ dx $ 를 $ du $ 로 치환하기 위해 $ u = g(x) $ 의 양변을 미분하여 $ du $ 와 $ dx $ 의 관계를 구합니다. 즉, $ du = g'(x)dx $ 입니다.적분 범위 변환: 정적분의 경우, 적분 범위도 $ .. 2024. 5. 17. 수학적 귀납법(Mathematical Induction) 수학적 귀납법(Mathematical Induction)은 일련의 명제들이 모두 참이라는 것을 증명하는 데 사용되는 강력한 수학적 기법입니다. 이 기법은 특히 자연수 집합에 대한 명제를 다룰 때 유용하며, 귀납법의 주요 생각은 "도미노 효과"에 비유할 수 있습니다. 귀납법을 이해하려면 귀납법의 두 가지 주요 단계, 즉 "기초 단계"와 "귀납 단계"를 이해하는 것이 중요합니다. 1. 기초 단계 (Base Step): 귀납법의 첫 번째 단계는 명제가 가장 간단한 경우, 즉 n=1일 때 참임을 보이는 것입니다. 이 단계에서는 주어진 문제를 가장 간단한 형태로 끓여내고 그것이 참임을 확인합니다. 예를 들어, 합의 공식 1+2+...+n = n(n+1)/2의 경우 n=1을 대입하면 1=1*(1+1)/2가 되어 참.. 2023. 5. 26. 편미분과 전미분 편미분과 전미분은 두 개 이상의 변수를 가진 함수에서 주로 사용되는 미적분학의 개념입니다. 각각은 서로 다른 관점에서 함수의 변화를 측정합니다. 편미분(Partial Derivative): 편미분은 다변수 함수에서 한 변수에 대한 함수의 미분을 나타냅니다. 이 때, 다른 변수들은 상수로 간주됩니다. 예를 들어, 함수 f(x, y)가 있을 때, x에 대한 편미분은 다음과 같이 정의됩니다: ∂f/∂x = limit(h->0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / h 이 식에서, h는 x의 미소 변화를 나타냅니다. 여기서 특이한 점은, 이 편미분을 계산할 때 y는 상수로 취급된다는 것입니다. 편미분은 각 변수가 함수에 얼마나 영향을 미치는지를 측정합니다. 이 개념은 물리학, 공학, 경제학 등에서 널리 사.. 2023. 5. 26. 라플라스 변환(Laplace Transform) 라플라스 변환은 기본적으로 시간 영역에서의 함수를 복소수(또는 s-영역)에서의 함수로 변환하는 기법입니다. 이 변환은 주로 미분 방정식의 해를 구하는 데 사용되며, 특히 엔지니어링 분야에서 널리 쓰입니다. 라플라스 변환의 정의: 라플라스 변환은 주어진 함수 f(t)를 다음과 같이 변환합니다: L{f(t)} = F(s) = ∫[e^(-st)f(t)] dt (적분 구간은 0에서 ∞까지) 여기서: f(t)는 시간 영역에서의 함수입니다. e는 자연상수 (약 2.71828)입니다. s는 복소수이며, 일반적으로 σ + jω로 표현됩니다. (j는 복소수 단위) L은 라플라스 변환을 나타냅니다. 라플라스 변환의 주요 이점: 라플라스 변환의 주요 이점은 시간 영역에서의 복잡한 미분 방정식을 s-영역에서의 대수 방정식으로.. 2023. 5. 26. 자연상수 e 자연상수 e의 개념은 수학자들이 복리 이자 문제를 연구하면서 발견되었습니다. 이러한 복리이자 문제는 금액이 어떤 비율로 연속적으로 증가할 때 얼마나 빨리 증가하는지에 대한 질문이었습니다. 이 개념은 17세기에 스위스의 수학자인 야콥 베르누이가 복리 이자 문제를 다루면서 처음 등장했습니다. 그는 복리 이자가 무한히 많이 적용될 때 계좌의 총액이 어떻게 될지에 대해 궁금했습니다. 예를 들어, 이자율이 100%인 1년 투자가 있다고 가정해 봅시다. 1회 복리의 경우, 1년 후에 원금의 두 배를 얻게 되지만, 이자를 매달 적용하면 더 많은 돈을 얻게 됩니다. 그럼 만약 이자를 무한히 많이 적용하면 어떻게 될까요? 베르누이는 이를 통해 e라는 수를 발견하게 되었습니다. 복리가 무한히 많이 적용되면, 계좌의 최종 .. 2023. 5. 22. 삼각함수(trigonometric function) 삼각함수는 삼각형의 세 변의 비율을 나타내는 수학적 함수입니다. 가장 흔히 알려진 삼각함수에는 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan) 등이 있습니다. 사인(sin): 주어진 각도의 대해 세워진 직각 삼각형에서, 빗변에 대한 반대변의 비율을 의미합니다. 코사인(cos): 주어진 각도의 대해 세워진 직각 삼각형에서, 빗변에 대한 인접변의 비율을 의미합니다. 탄젠트(tan): 주어진 각도의 대해 세워진 직각 삼각형에서, 반대변에 대한 인접변의 비율을 의미합니다. 탄젠트는 또한 사인과 코사인의 비율(sin/cos)로도 정의됩니다. 이 외에도 코시컨트(csc), 시컨트(sec), 코탄젠트(cot) 등의 역삼각함수도 있습니다. 삼각함수는 원의 단위로 각도를 측정하는 데에도 사용되며, 이를 라디안(radi.. 2023. 5. 21. 이전 1 2 3 다음 728x90
